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在黃金比例中，數學與藝術交匯。許多人說發現數學的過程很美，而黃金比例展示了美如何成其為數學。

黃金比例是數學中最為迷人的看點之一。許多鼎鼎大名的人物在年年歲歲中研究它的魅力，其中包括古希臘數學家歐幾里得、古羅馬工程師維特魯威（他修建的大水渠迄今屹立）、意大利藝術家列奧納多·達·芬奇，還有法國建筑師柯布西耶，他創新領導了建筑工程項目，設計了可供大規模人群居住的理想住所。（他的設計造價高昂，但是比20世紀廣泛建造的那些廉價的替代品強很多。）

黃金比例有3種寫法：一個希臘字母φ，一個復雜的算式，或者一個無限不循環小數。

比例

那么，到底什么是黃金比例？首先，我們來理解術語“比”的含義。比是數學上連接兩個數的辦法，表示第一個數包含了第二個數的多少倍。例如，10與2的比是5∶1，這意味著10是2的5倍。比在刻畫實物數量時很有用。比如說，如果一包糖有16塊巧克力和12塊檸檬糖，那么巧克力與檸檬糖的比就是16∶12，可以簡化為4∶3。這個比告訴我們一包糖里每4塊巧克力，都有3塊檸檬糖與之相對應。這就給了我們兩種糖的數量之比。一共有28塊糖，巧克力與全部糖的數量之比是16∶28，或者說4∶7。這可以寫成分數4/7，或者十進制小數0.57（也就是4除以7）。

菲狄亞斯，黃金比例的命名者，正在雅典展示他的藝術品。

分割線段

比可以用來刻畫一條線段分段的方式，這正是黃金比例的意義所在。把一條線段分成兩段，這里不是對半分，就產生了兩個比：第一個是長線段與短線段之間的比，第二個是整個線段與長線段之間的比。黃金比例是某種分割使得兩個比一致的結果。換言之，“整個的比長的，等于長的比短的”。人們花了數百年才計算出，黃金比例在長線段與短線段之比為1.618的時候才能實現。

菲狄亞斯的Ф

黃金比例實際上是一串無限不循環小數，永遠也寫不完。數學家稱它為Ф，這是菲狄亞斯的名字的首字母（希臘字母），他是古希臘雅典的帕特農神廟的建筑師。他在這一巨作中用到了黃金比例。

在帕特農神廟里，數學家找到許多黃金比例的例子，比如一面墻的高和寬的比。

極端與平均

跟用于建造帕特農神廟一樣，黃金比例也用在許多藝術作品上——常常出于偶然，有時也在花朵之類自然的景物中出現。稍后我們可見更多，但我們首先看看數學之美吧。對黃金比例的值的研究始于歐幾里得，他的工作是在菲狄亞斯建成帕特農神廟一個世紀之后進行的。歐幾里得稱黃金比例“又極端又平均”。他知道如何在一條線段上表示黃金比例，但是他無法計算各段線段的確切長度。

最初的計算

計算黃金比例涉及非常復雜的數學知識。我們設想線段長為1個單位長度，添上怎樣一條短線段使得這兩部分之比呈黃金比例呢？最初的完整解答在1597年由德國天文學家邁克爾·梅斯特林給出，他計算出短線段大約為0.618034個單位長度。所以，把長短線段合起來，總長度是1.618034…。這個數是無窮無盡的。

黃金矩形

長邊與短邊呈黃金比例的矩形就是黃金矩形。從矩形中劃分出一個正方形（圖中綠色區域）后，就在旁邊造出了一個小矩形，它和母體一樣也是黃金矩形。你可以繼續劃分，造出無窮無盡的黃金矩形。主對角線（圖中白線）穿過所有矩形的一個角。

在歐幾里得描繪黃金比例的1900年后，邁克爾·梅斯特林是第一個將黃金比例計算到小數點后幾位的人。

簡單的過程

要想做出黃金比例，需要畫一條長度為1618單位的線段——剩下的數字就無所謂啦。長度的單位是什么都可以，英寸、毫米、手指寬度，全都無妨。把線段的前1000單位長度分出來，就形成了一個黃金比例。

簡單矩形

黃金比例可以用于將物體不斷劃分，并非必須是線段。黃金矩形就是一個邊長之比滿足黃金比例的四邊形，用我們簡單的度量來說，長邊是1000單位，短邊是618單位。黃金矩形可以劃分成越來越小的黃金矩形，無窮無盡，只不過太小可能看不清。把一個黃金矩形水平放置，旁邊另一個黃金矩形豎直放置，它們的4個角都在水平線上。從橫向矩形的底角到頂角畫一條對角線，它可以延伸到縱向矩形的頂角。你可以用信用卡自己嘗試一下——是的，它們的形狀正是黃金矩形（見下圖）。在別的矩形上這可沒法實現。

信用卡的形狀是黃金矩形。檢驗一下，把兩張信用卡這樣放置，你可以用一柄直尺貫穿左邊信用卡的左底角、右頂角和右邊信用卡的右頂角。

恰如其分

黃金矩形出現在帕特農神廟的許多地方。例如，正面的廊柱就是黃金矩形的。但是并無證據表明菲狄亞斯在他的建筑里用了數學知識，或許只是巧合或是靈機一動。黃金矩形對于我們來說“恰如其分”，不太寬也不太窄，不太高也不太矮。

自然界中的黃金比例

黃金比例在自然界中也可以見到。這聽起來挺奇怪，畢竟自然界中的直線少之又少。數學家在探索構造黃金矩形的方法的過程中，卻發現他們能以黃金比例構造美妙的螺旋（見下圖）。這個螺旋，或者諸如此類，在自然界中屢屢可見其身影，比如某些蝸?；蜍涹w動物的殼，乃至某些星團。有些花朵的種子長成了黃金螺旋形。其中有這么個緣故：這樣省地方，可以盡量多地排布下種子。種子長在一條直線上聽起來簡單，但花里就會留下許多空缺，大大浪費空間。螺旋形生長更有效率，又以黃金螺旋為最。

黃金螺旋

黃金矩形可以轉化為黃金螺旋。第一步是把矩形切出一個正方形，從而把大矩形分成一串逐漸變小的矩形，每個正方形里可以恰好容納1/4圓，將所有圓弧畫好，就構成黃金螺旋。從最小的正方形出發，每個圓弧以Ф的比例增長，也就是說，每個圓弧都增大Ф倍。

向日葵的種子從中心向外發散的各條曲線近似黃金螺旋。

黃金夾角

黃金比例在植物界還有另一種形式，即黃金夾角，它是指把一個圓分成兩塊，大塊跟小塊的比例等于整圓跟大塊的比例。數學家用Ф表示黃金夾角，大約為137°（整個圓是360°）。植物的葉子和花瓣是按黃金夾角排布的，每片新葉子繞莖137°生長。這是植物保證各片葉子都充分占據空間的最佳方式。

藝術與設計中的黃金比例

具有數學思維的藝術家發現，他們可以用黃金比例來分解名畫，將其拆分成一個套一個的黃金矩形。列奧納多·達·芬奇的《蒙娜麗莎》經常被做這樣的拆分。雖然黃金矩形對幾乎所有名畫都很適合，但是數學家不相信藝術作品真的是按黃金比例創作的。達·芬奇對黃金比例很感興趣，他嘗試用它去擬合人體，然而，他發現得拉伸身體的某部分（通常是軀干）或者縮短某部分（腿）才能辦到（譯者注：不同的人體形會有差別）。即使如此，黃金比例也用在了藝術和其他設計上，最著名的大概是位于紐約的聯合國大廈。從正面看，它就是個黃金矩形。

金屬比例一族

黃金比例有些“姿色稍遜的親屬”：白銀比例和青銅比例。這里面的數學知識挺復雜，但是用矩形來看就很簡單。從黃金矩形里去掉一個正方形，就得到一個小的黃金矩形。要得到白銀矩形，得去掉兩個正方形。青銅矩形就更瘦更長了，得去掉3個正方形。

人形度量

聯合國大廈的主體建筑是查爾斯·愛德華·靳奈瑞特·格力斯的作品，斯人以柯布西耶之名享譽。柯布西耶醉心于宜居的理想尺寸和形狀的建筑空間。20世紀40年代，他發展出一種度量單位，稱作模（Modulor），它是以人體大小為基礎的。為穩妥計，柯布西耶設想出一個比普通人略大的形體，高6英尺（約1.83米）。他認為人所需的空間比這個大一點，于是讓這個人形伸臂過頂，就得到它的高度7英尺5英寸（2.26米）。他認為建筑的所有組成部分——屋頂、門廊、臺階——都應當以此單位為基礎。這是對于人來說的最佳空間——大多數人的生活和工作之室。當然，也不是說所有東西都得是1模那么高，據此，柯布西耶利用黃金比例設定了小一點的單位，用于設計座椅的高度、通道的寬度、臺階的大小等。大一點的單位用于設計從頂到底的整個建筑。

柯布西耶的黃金比例人形單位，展出于法國馬賽的住宅之墻。

正三十面體是用黃金比例構成的最小的正多面體。它的30個面都是黃金菱形，長短對角線之比是Ф，形如右圖。

黃金三角形

黃金比例也用于構建許多其他形狀，比如黃金三角形。這是一個等腰三角形（有兩條邊長度相等的三角形），這個例子里兩個腰是長邊，長邊與短邊的邊長之比是黃金比例。如同黃金矩形，黃金三角形也可以細分，細分成與之相似的三角形。下次請看星形——這是五角星在數學上的稱謂，比如美國的星條旗上的星星，其尖角上都是黃金三角形。

大金字塔也是？

有人認為埃及開羅附近的大金字塔是按黃金比例設計的。這意味著歐幾里得描繪黃金比例的大約2300年以前，數學家就已經懂得它了。金字塔的三角形立面是用黃金矩形沿對角線切成兩半再拼起來形成的（黃金矩形切成兩個直角三角形，再拼成一個大三角形）。另外，黃金比例也與底和高的比例有關。很有可能金字塔的建筑師用到了黃金比例，也有可能他對黃金比例獨具慧眼。

黃金立體

正多面體（所有邊、所有面都尺寸相同）沒法用黃金三角形和黃金矩形拼出來。但是，它可以用黃金菱形拼出來。黃金菱形的對角線（見左上圖）長度符合黃金比例。30個黃金菱形可以拼成正三十面體，通常用于30面的骰子。

泰姬陵依黃金比例設計，在門楣、山墻、拱頂上可見黃金比例的應用。

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